\section{Introducci\'on Te\'orica}
Este trabajo esta enfocado en borrar un objeto de una imegen, para ello Dada una imagen con un objeto no deseado, al cual llamaremos ruido, se intentara suavizar el ruido mediante la t\'ecnica de splines cubicos.

La imagen que se utilizara sera del formato raw con extensi\'on pgm. Este tipo de imagenes tienen un formato simple para manipular como matrices ya que cada pixel esta representado con un byte. Este tipo de imagenes se muestra con escalas de grises, con lo cual cada color se representa con un valor de 0 a 255. 

Para identificar el ruido de la imagen se pasan dos coordenadas las cuales ayudaran a determinar la zona donde se va a aplicar los splines c\'ubicos.

El m\'etodo de interpolaci\'on es la construcci

Para comprender como se planteo el modelo es necesario antes definir que es una interpolaci\'on y para que sirve. Dada una tabla con valores, como podr\'ia ser $x$ e $y$, los cuales se obtuvieron de un muestreo o de un experimento. Se llama interpolar al hecho de intentar saber cuanto vale el $y$ de un $x$ que no se encuentre en la tabla mediante los datos que aporta la misma \ref{interpolar}. Uno de los m\'etodos m\'as conocidos de interpolaci\'on es el de Lagrange.

La interpolaci\'on que hace Lagrange es con un polinomio el cual puede resultar demasiado oscilatorio, debido a que puede tener un alto grado. Si bien el polinomio que se genera con el m\'etodo de Lagrange en los puntos $x$ de la muestra devuelve el valor $y$, si el polinomio es de alto grado hace que tenga muchas fluctuaciones para aquellos valores que no estan en la tabla de entrada, con lo cual el valor que devuelva varie mucho del que toma la funci\'on que se representa con la tabla. En el caso en que los valores no sean parecidos a los de la funci\'on Lagrange no estaria dando una buena aproximaci\'on.

Como alternativa a Lagrange, se busca dividir los intervalos que se quieren interpolar en subintervalos y construir un polinomio diferente de aproximaci\'on, esto se llama aproximaci\'on fragmentaria. La aproximaci\'on polin\'omica fragmentaria m\'as com\'un utiliza polinomios entre cada par consecutivo de puntos y recibe el nombre de interpolaci\'on de trazadores c\'ubicos o splines.

Los splines al ser un polinomio de grado 3 entre cada par de puntos tiene flexibilidad para garantizar que el polinomio interpolante es continuamente diferenciable en el intervalo y tiene una segunda derivada continua. 

Con lo cual una definicion formal es:
Dada una funci\'on $f$ definida en $[a,b]$ y un conjunto de nodos $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ un interpolante de trazador c\'ubico S para f es una funci\'on que cumple con las condiciones siguientes: 

\begin{enumerate}
    \item $S(x)$ es un polinomio c\'ubico, denotado $S_j(x)$, en el subintervalo $[x_j, x_{j+1}]$ para cada $j = 0,1, \dots , n-1$
    \item  $S(x_j) = f(x_j)$ para cada $j = 0,1, \dots, n$ 
    \item  $S_{j+1}(x_{j+1}) = S_{j}(x_{j+1})$ para cada $j = 0,1, \dots, n-2$ 
    \item  $S'_{j+1}(x_{j+1}) = S'_{j}(x_{j+1})$ para cada $j = 0,1, \dots, n-2$ 
    \item $S''_{j+1}(x_{j+1}) = S''_{j}(x_{j+1})$ para cada $j = 0,1, \dots, n-2$ 
    \item Una de las siguientes condiciones de frontera se satisface:
    \begin{enumerate}
    	\item $S''(x_{0}) = S''(x_{n}) = 0$ (frontera libre o natural)
	\item $S'(x_{0}) = f'(x_{0}) $ y $S'(x_n) = f'(x_n)$ (frontera sujeta)
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
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